如何計算 CT 膝點電壓

簡介

每位保護工程師最終都會面對同樣的難堪時刻：繼電器在故障期間無法動作，事故後的調查指出 CT 飽和，而問題變成 - 膝點電壓是否一開始就計算正確？在我審查過的大部分工業和公用變電站專案中，答案都是否定的。CT 變比與負載電流相匹配，精確度等級從之前的專案中複製，而膝點電壓則接受製造商提供的任何值 - 未經過任何計算驗證是否足夠。.

CT 膝點電壓 (Vk) 是磁芯開始飽和時的最小二次激勵電壓，它必須通過確定最壞故障條件下的最大二次負載電壓，乘以瞬態尺寸因子以計算直流偏移，並應用安全裕量以防止剩餘電流和測量不確定性來計算 - 而不是假設。.

我曾在德國、澳洲、阿聯酋和東南亞的專案中與採購團隊和保護工程師合作，膝點電壓計算一直都是 CT 規格中最容易被遺漏的步驟。其後果從延遲繼電器操作到近端故障時完全保護失敗不等。本文將介紹每一種計算方法 - 從基本的 IEC 公式到特定應用的工作範例 - 讓您在指定 CT 時能有充分的工程信心。🔍

目錄

• 什麼是 CT 膝點電壓，在 IEC 標準下如何定義？
• 如何逐步計算所需的膝點電壓？
• 不同保護應用的膝點電壓計算有何差異？
• 如何透過現場測試驗證膝點電壓，以及常見的錯誤有哪些？
• 關於 CT 膝點電壓計算的常見問題

什麼是 CT 膝點電壓，在 IEC 標準下如何定義？

在執行任何計算之前，您需要精確、符合標準地瞭解膝點電壓的實際含義 - 因為不同標準的定義會有所差異，使用錯誤的定義會導致系統性的尺寸不足錯誤。⚙️

IEC 61869-2 定義

根據 iec 61869-2¹ (目前的國際互感器標準)，膝點電壓是經由 V-I 激發曲線 在原極開路時測量：

膝點電壓 (Vk) 是二次激勵特性 (V-I 曲線) 上的一點，在此點上，激勵電壓增加 10%，激勵電流增加 50%。.

此定義識別了線性工作區域與飽和開始之間的邊界。低於 Vk 時，磁芯在其線性區域運作，精確度可接受。高於 Vk 時，磁芯進入飽和狀態，二次輸出精確度會迅速降低。.

BS 3938 定義（仍被廣泛引用）

年紀較大的 BS 3938 標準 - 仍在許多英國和英聯邦專案規範中引用 - 將膝點定義為：

激發曲線上與水平軸成 45° 角的切線點。.

實際上，BS 3938 的膝點通常是 5-15% 下部 比相同磁芯的 IEC 61869-2 膝蓋點低。在檢閱 CT 資料表或比較不同供應商的規格時，請務必確認使用哪個標準的定義來決定已公佈的 Vk 值。.

膝點電壓架構的關鍵參數

參數	符號	單位	定義
膝點電壓	Vk	伏特 (V)	飽和開始時的激勵電壓
Vk 時的激勵電流	Ie (或 Imag)	安培 (A)	膝點時的磁化電流 - 越低越好
二次繞線電阻	Rct	歐姆 (Ω)	CT 二次繞組的直流電阻
連線負擔	Rb	歐姆 (Ω)	外部二次電路總阻抗
精確度限制因素	ALF	—	超出錯誤限制前的最大過電流倍數
暫態尺寸因子	Ktd	—	直流偏移磁通需求乘數 = 1 + (X/R)
剩餘因子	克爾	%	殘餘通量佔飽和通量的百分比
額定二次電流	在	安培 (A)	額定二次電流（1A 或 5A）

Vk、ALF 與精確度等級之間的關係

適用於 P 級 CT, ，膝點電壓不是直接指定的 - 而是由 精確度限制係數 (ALF) 和 額定負擔 指定。隱含的最小膝點電壓為：

$V_{k,\text{implied}}êtimes êleft(R_{ct} + R_{b,\text{rated}\right)\times \left(R_{ct} + R_{b,\text{rated}}\right)$

然而，此隱含 Vk 是以額定負荷計算的 - 如果實際安裝負荷與額定負荷不同，則有效 ALF 會發生變化。這是實際應用中 CT 尺寸不足的最常見原因之一。.

適用於 PX 類和 TP 類 CT, Vk 是直接指定的，與負載無關，因此保護工程師可以明確控制飽和臨界值。.

如何逐步計算所需的膝點電壓？

膝點電壓的計算遵循一個邏輯順序，從系統故障資料一直到最終指定的 Vk 值。每個步驟都必須依序完成 - 跳過任何步驟都會產生不可靠的結果。📐

主配方

受直流偏移瞬變影響的保護 CT 的完整膝點電壓要求為：

$V_{k,\text{required}} = K_{td}\times I_{f,\text{sec}}\times \left(R_{ct} + R_{b}\right) \times SF$

在哪裡？

• $K_{td} = 1 + \frac{X}{R}$
• $I_{f,\text{sec}} = \frac{I_{f,\text{primary}}}{CTR}$
• $R_{ct} = \text{CT 二次繞組電阻 }(\Omega)$
• $R_{b} = \text{總連接負載電阻 }(\Omega)$
• $SF = 1.2 \text{ to }1.5$

步驟 1：確定最大故障電流

從網路故障研究中取得 CT 安裝點的最大對稱故障電流：

• 使用 最大故障進給條件 (所有來源均在服務中)
• 對於連接發電機的 CT，包括 次瞬態故障貢獻²
• 轉換為二次安培： $I_{f,\text{sec}} = \frac{I_{f,\text{primary}}}{CTR}$

範例：

• 最大故障電流：12,500A (一次)
• CT 比率：200/1A → CTR = 200
• $I_{f,\text{sec}} = \frac{12{,}500}{200} = 62.5,\text{A}$

步驟 2：確定系統 X/R 比率

取得 x/r 比率³ 故障點的網路阻抗資料：

系統位置	典型 X/R 範圍	Ktd 範圍
低壓工業配電	3 - 8	4 - 9
中壓配電變壓站	8 - 15	9 - 16
高壓子傳輸	15 - 25	16 - 26
超高壓輸送	25 - 50	26 - 51
發電機端子	30 - 80	31 - 81

範例：

• 33kV 母線上的系統 X/R = 18
• Ktd = 1 + 18 = 19

步驟 3：計算總二次負擔

測量或計算二次電路中的每個電阻元件：

$R_b = R_{text{cable}}+ R_{text{relay}}+ R_{text{contacts}}+ R_{text{ test switch}}$

負擔部分	典型值	如何判斷
繼電器輸入阻抗	0.01 - 0.5Ω	繼電器技術手冊
二次纜線 (迴路)	0.02Ω/m × 長度	測量電纜長度和 CSA
測試開關觸點	0.01 - 0.05Ω	製造商數據表
端子台觸點	0.005 - 0.02Ω	估計或測量
CT 二次繞組 (Rct)	0.5 - 10Ω	CT 數據表或測量

範例：

• 繼電器輸入：0.1Ω
• 電纜（20 公尺迴路，2.5mm²）：20 × 0.0072 = 0.144Ω
• 測試開關 + 端子：0.04Ω
• Rb = 0.1 + 0.144 + 0.04 = 0.284Ω
• Rct（來自數據表）= 2.1Ω
• 總計 (Rct + Rb) = 2.384Ω

步驟 4：套用主公式

$V_{k,\text{required}} = K_{td}\times I_{f,\text{sec}\times (R_{ct}+R_b) \times SF$

$V_{k,\text{required}} = 19 \times 62.5 \times 2.384 \times 1.3 = 3494,\text{V}$

此結果可立即顯示標準目錄 CT 是否足夠，或是否需要客製化規格。.

步驟 5：套用 Remanence 校正

如果 CT 磁芯具有已知的剩餘因數 Kr，則有效可用的膝點電壓會降低：

$V_{k,\text{effective}} = V_{k,\text{rated}}\乘以 (1 - K_{r})$

重新排列，找出所需的額定 Vk：

$V_{k,\text{rated required}} = \frac{V_{k,\text{required}}}{1 - K_{r}}$

Kr = 0.70 的範例（標準 GOES 核心）：

$V_{k,\text{rated required}} = \frac{3494}{1 - 0.70} = \frac{3494}{0.30} = 11647\,\text{V}$

這個計算說明了為什麼標準的矽鋼鐵芯經常不足以應付具有明顯直流偏移的高壓保護應用，以及為什麼低殘值鐵芯材料不是奢侈品而是必需品。.

Kr = 0.08 (奈米晶核⁴):

$V_{k,\text{rated required}} = \frac{3494}{1 - 0.08} = \frac{3494}{0.92} = 3798,\text{V}$

70% 殘值磁芯與 8% 殘值磁芯之間的差異轉換為 所需膝點電壓相差 3 倍 - 規格差距決定標準 CT 是否足夠，或是否需要客製化的高 Vk 裝置。.

客戶故事： Thomas 是荷蘭一家公用事業承包商的資深保護工程師，負責管理 110kV 變電站的整修工作，他從 1990 年代的設計中繼承了 CT 規格，該設計指定母線差動保護的 Vk ≥ 400V。根據目前的故障等級 (18kA)、X/R 比率 (22)、實際電纜負荷 (0.31Ω) 以及已安裝的 GOES 磁芯剩餘磁 (Kr = 72%)進行全面計算，得出所需的 Vk 為 9,200 V。已安裝的 CT 的額定電壓為 400V。數十年來，該保護裝置在技術上一直不符合要求。Bepto 提供了使用納米晶體磁芯 (Vk = 4,100V, Kr = 7%) 的 TPY 級替代 CT，使該方案完全符合 IEC 61869-2 標準。✅

不同保護應用的膝點電壓計算有何差異？

主公式提供了通用框架，但每種保護功能都會對計算方法進行特定修改。對特定保護功能採用錯誤的計算方法與完全跳過計算一樣危險。🔧

過電流保護 (ANSI 50/51) - P 級或 PX 級

對於延遲時間的過電流保護，通常不需要完整的暫態 Ktd 系數，因為繼電器可以容忍一定程度的 CT 飽和而不會發生誤動作。簡化計算使用：

$V_{k,\text{required}} = ALF \times I_{n}\次 (R_{ct} + R_{b})$

其中，選擇 ALF 是為了確保 CT 在繼電器的瞬間拾取設定之前保持精確。對於瞬間元件 (50)，完整的 Ktd 公式適用。.

變壓器差動保護 (ANSI 87T) - PX 或 TPY 等級

差動保護需要 匹配的性能 來自受保護變壓器兩側 CT 的電流。必須對每個 CT 分別進行計算，且計算結果必須相容：

$V_{k,\text{HV}}êtimes I_{f,\text{sec,HV}}\times I_{f,\text{sec,HV}}\times (R_{ct,\text{HV}} + R_{b,\text{HV}}) \times SF$

$V_{k,\text{LV}}êtimes I_{f,\text{sec,LV}}\times I_{f,\text{sec,LV}}\times (R_{ct,\text{LV}} + R_{b,\text{LV}}) \times SF$

此外 充磁浪湧電流 必須考慮 - 變壓器通電會產生 8-12 倍於額定電流的湧入電流，並帶有明顯的直流偏移，這會驅使 CT 達到飽和，即使沒有故障也會產生錯誤的差分電流。.

距離防護 (ANSI 21) - 等級 TPY

距離繼電器對幅度和 相位角精確度. .膝點電壓計算必須確保 CT 在整個故障持續時間內保持在其線性區域內 - 而不僅僅是在故障開始時：

$V_{k,\text{required}} = K_{td}\times I_{f,\text{sec}\times (R_{ct} + R_{b}) \times SF \times K_{text{angle}}$

其中 Kangle (通常為 1.1-1.2) 代表距離中繼阻抗量測演算法的額外相位角精確度要求。.

母線差分保護 (ANSI 87B) - TPZ 等級

母線保護以最高速度運行（通常為 8-12ms），對 CT 飽和的容忍度為零。計算使用完整的 Ktd 因子，沒有任何簡化，並指定 TPZ 級空氣封裝磁芯以完全消除剩餘電流：

$V_{k,\text{required}} = \left(1 + \frac{X}{R}\right) \times I_{f,\text{sec max}\times (R_{ct} + R_{b}) \times 1.5$

母線保護必須使用 1.5 安全係數 - 不允許降低安全係數。.

應用程式特定計算摘要

保護功能	Ktd 應用	殘留臨界值	典型 Vk 範圍	CT 類別
延遲時間的 OC (51)	選購	沒有	50 - 300V	P 級
瞬間 OC (50)	全額 (1+X/R)	中度	200 - 800V	P 類或 PX 類
變壓器差分 (87T)	完整	有 (Kr<30%)	400 - 2000V	等級 PX 或 類別5
距離接力 (21)	完整 + 康樂	有 (Kr<10%)	500 - 3000V	類別 TPY
母線差分 (87B)	完整 + 1.5 SF	臨界 (Kr<1%)	1000 - 5000V+	類別 TPZ
自動關閉計劃	完整 × 2 循環	臨界 (Kr<10%)	800 - 4000V	類別 TPY

客戶故事： Maria 是義大利米蘭一家開關設備 OEM 的採購經理，她正在為一批 24kV 氣體絕緣開關設備採購 CT，這些開關設備將用於沙烏地阿拉伯的一個煉油廠項目。該專案規格要求 TPY 級 CT 用於饋電線差分保護，最低 Vk 為 1,200 V。兩家競爭供應商報出了 Vk = 800V 的標準 PX 類 CT，聲稱具有等效性。Bepto 的工程團隊提供了完整的工作計算，證明 1,200V 的要求是根據該母線的 40kA 故障電平和 X/R = 24 正確推算出來的 - 並提供了 Vk = 1,450V 和 Kr = 6.8% 的認證 TPY 類單元。客戶的保護顧問無條件地接受了 Bepto 提交的資料。💡

如何透過現場測試驗證膝點電壓，以及常見的錯誤有哪些？

計算出的膝點電壓與安裝的 CT 同樣可靠。透過磁化測試進行現場驗證是不容妥協的最後步驟，可確認安裝的 CT 符合其規格 - 並在保護系統通電前發現製造偏差、運輸損壞和錯誤的單元識別。.

二次射出磁化測試程序

1. 隔離 CT - 打開所有一次接頭，並確認一次接頭已斷電
2. 短路所有未使用的二次繞組 - 防止危險的開路電壓
3. 連接測試設備 - 可變自耦變壓器至二次端子，精密電流表串聯，電壓表跨端子
4. 施加越來越高的交流電壓 - 從零開始，小步增加（膝點附近 5-10V 增量）
5. 記錄每一步的 V 和 I - 繼續，直到激勵電流急劇增加 (通常為膝點電流的 2-3 倍)
6. 畫出 V-I 曲線 - 在對數對照紙或軟體上；使用 IEC 10%/50% 標準找出膝點
7. 與工廠證書比較 - 測得的 Vk 必須在認證值的±10% 之內

驗收標準

測試參數	接受標準	失敗時的動作
測量的 Vk vs. 認證的 Vk	±10% 以內	拒絕 CT - 退還給供應商
Vk 時的激勵電流	≤ 數據表值	調查核心損壞或錯誤的裝置
曲線形狀	流暢、與級別一致	調查層壓損害
繞線電阻 Rct	在資料表的 ±5% 以內	檢查匝數是否短路

常見的計算和規格錯誤

• 使用額定負擔而非實際負擔 - 銘牌負載為最大額定值，而非安裝負載；務必根據測量的電纜電阻和繼電器輸入數據計算實際 Rb
• 省略 Ktd 乘數以獲得瞬間保護 - 延時繼電器可容忍一些飽和，但瞬時元件 (50) 在第一週期運作，需要完整的暫態計算。
• 在整個網路中應用單一 X/R 值 - X/R 因位置而異；對於下游中壓饋線而言，適合 HV 母線的值可能大錯特錯
• 在計算負擔時忽略 Rct - CT 本身的繞組阻抗是總負載的一部分，可能是長二次電纜運行的主要項目；必須始終將其包括在內。
• 未經驗證即接受製造商的標準目錄 Vk - 目錄 CT 是針對典型應用而設計；您的特定故障等級、X/R 比率和負載組合可能需要非標準規格。
• 忘記減量餘量 - 在不應用 (1 - Kr) 校正係數的情況下計算 Vk_required，會產生一個假設磁芯完全退磁的結果 - 而這個假設在使用中是絕對不成立的。

計算後核對清單

1. ✅ 由電流網路故障研究獲得的最大故障電流
2. ✅ 在特定 CT 安裝匯流排上確認的 X/R 比率
3. ✅ 實際測量的負荷 - 非根據銘牌估算
4. ✅ Rct 包含在總負擔計算中
5. ✅ 使用完整 (1 + X/R) 公式應用 Ktd
6. ✅ 使用指定磁芯材料的實際 Kr 值進行剩餘電流校正
7. ✅ 採用最低 1.2 的安全係數
8. ✅ 執行場磁化測試，結果在規格的±10% 之內
9. 保留測試證書作為維護基線比較之用

總結

正確計算 CT 膝點電壓並非官僚的合規工作 - 它是工程基礎，決定您的保護系統是在 20 毫秒內運作，還是在設計清除故障期間完全失效。主公式簡單直接，但每個輸入都必須來自實際的系統資料：真實的故障電流、測量的負荷、確認的 X/R 比值，以及經過驗證的磁芯剩餘電磁係數。嚴格應用計算，通過現場測試進行驗證，並將結果記錄在案，作為永久維護基線。. 從一開始就取得正確的膝點電壓，您的保護 CT 就能在最重要的時候完全按照設計執行。. 🔒

關於 CT 膝點電壓計算的常見問題

1. 存取儀用變壓器的官方 IEC 標準，以確保符合規定。. ↩

2. 探索有關次瞬態故障貢獻的技術資料，以進行精確的保護計算。. ↩

3. 瞭解系統電抗和電阻如何影響故障瞬變和 CT 大小。. ↩

4. 檢視奈米晶體材料在降低剩餘電流方面的性能優勢。. ↩

5. 高速方案中使用的暫態保護等級 CT 的詳細規格。. ↩